加减法进退位：如何不吼不怒就能把娃教会？

本文转载自微信公众号：豆妈笔记

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最近，豆豆小朋友开始学习加减法进退位了。恩，是的，我们才开始学习进退位，在同龄小朋友当中大概属于中等偏慢的进度。

但很开心的是，我并没有费太大力气讲，小朋友自己就领悟了。我说的领悟，是指小朋友不仅理解，而且自己用起来了。比如在讲进位的时候，我只举了15以内的加法，玩骰子练习的时候选的也是8面骰子，但是在留给他的小小挑战中，我先后写过18+4，11+17，17+23，34+27，小朋友都算对了，还兴致勃勃地当了几次小老师，教了我一番：）

顺利取得阶段性胜利后，豆豆妈咪总结一些心得和大家分享哈。

豆豆学习进退位看起来很轻松，但其实我们为这个水到渠成做了很多准备。我觉得小朋友要真正领会加减法的进退位，需要明白两个核心概念和思想：数位、满十进一；以及熟练掌握操作层面的两项技能：凑十、数字拆分。

事实上，主流刷题书和部分培训机构都非常强调后两项技能，也就是凑十和数字拆分。当然，它们在帮助小朋友提高计算速度上起到很大的作用。但加减法进退位真正的核心思想，却是数位和进制。掌握了这两个核心概念和思想，小朋友才会举一反三。

数位

首先要明确一下，什么是数位。

数位，就是一个数的每个数字所占的位置。数位顺序从右边算起，第一位是“个位”，第二位是“十位”，第三位是“百位”。

有些小朋友刚开始接触两位数的时候，会把21写成201，就是没有理解数位的含义；还有的小朋友不理解为什么1有的时候表示1，有的时候可以代表10，其实也是一样的问题。

当然，给小朋友介绍数位的时候，不能直接照读上面这段解释，需要变换一种讲法。豆豆妈咪是这么和小朋友讲的，给大家一个参考哈。

我告诉豆豆，很早以前的古人，他们还没有发明数字，就用画竖线的方法来计数，一根竖线表示1。但是后来数量越来越大了，用这个方法不方便了，他们就用一个圆圈代表10。比如下面这个图，就表示12。

我又画了一个图，问豆豆，这是几呢？

豆豆说，“10、20、30，这是33！”

“对呢！”我告诉他，然后又画了一个图，“那这个是几呢？”

豆豆看了一会儿说，“好像还是33？”

我笑着点点头，又画了一个。

“还是33嘛！”这下小朋友自信多了。

然后，我又告诉他，后来他们计的数量越来越多了，画圆圈也不方便了，就新造了一个图案方块，一个方块表示100。比如这个，就表示231。

百位也和十位一样，颠来倒去画了几个图，其实代表同一个数字。

“你觉得那个时候的计数，方块画在哪个位置有关系么？”

“没有”

“对，最早以前，计数只和图案有关，和图案在哪个位置是没有关系的。后来需要记录的数字越来越大，用图案的方法就越来越不方便了。这时候另外一些聪明的人发明了1、2、3、4、5、6、7、8、9、0这10个数字，计数一下子简单多了，更关键的是，超过10的部分，他们也没有新创造图案或者其他数字，而是把位置这个信息利用起来，就是说，同样一个1，它站在从右边数第一个位置和第二个位置，含义就不一样了。”

这就是我最想让豆豆明白的，在现在的计数法中，位置是包含信息的，同样一个数字，站在不同的位置，含义是不一样的。

要加强小朋友的数位感，豆豆妈咪推荐的教具是百数板。

这个就是百数板，1~100的连续数板，是蒙氏教具的一种

满十进一

 “满十进一”更科学的名字应该是“十进制”，但是我觉得前者更加亲切一点。

在教小朋友进退位的具体操作之前，除了“数位”，还有一个重要的概念就是“进制”。引入进制，并不是说要让小朋友记住这个名词，而是要明白它背后的思想，因为明白了这个思想，小朋友理解进退位就很容易了。

引入“满十进一”的最初，是豆豆向我抛了一个问题，“为什么是满十进一，满八进一可以吗？满二十进一可以吗？”

我觉得这是一个很好的问题！于是和豆豆一起做了一个游戏。

我们最近在看《揭秘古埃及》这本书，其中的一个画面是这样，岸上的帐篷下，坐着三个记录员，他们的工作是记下当天运到港口的所有货物的清单。

我提议，“豆豆，你来当这个记录员吧。假设古埃及人开着商船，每隔一段时间会运一批砖头过来，放在仓库里；过几天又要从仓库里取出一些，运到别的城市去。你就负责记录仓库里有多少块转。”

我用围棋棋子当砖，抓了一些给豆豆。豆豆开始清点，他的方法是数一个往旁边拨一个，数完之后一堆棋子挪了个地方，不过还是一堆。

“一共有54块砖。”豆豆报出了数字。

“好的。第二天，他们运走了9块，仓库里还有多少块砖？”我故意说了个豆豆肯定心算不出来的数字，然后拿走了9个棋子。

小朋友又开始数起来，方法同上。“现在有45块。”

“好的。后来他们又运来了12块”我又数了12个棋子给豆豆，“现在仓库里有多少砖了？”

“我不数了，一点也不好玩！”豆豆开始抗议，我就在暗暗发笑。反正我的策略就是要数到他不耐烦为止。

“那你有没有简单点的办法，让数数快一点哦？”

小朋友对我的这个引导并不买账。于是我换了一种方法，“那这样吧，妈妈和你一起数数。我们不数棋子，就是数数，从1数到50，你数一个数字，我数一个数字。”

我俩把1-50数了一遍。

“现在换一种方法，我们两个两个数，你数2，我数4，你数6，数到50。”

因为单双数数数我们数过好几次了，所以也很顺利。

然后是3个数字一数，这个豆豆不太熟练，数到50要比两个数字一数慢。

5个一数的时候，简直神速。豆豆开心地大笑起来，“哈哈哈，这样数数感觉像在跑步！”

跑步这个说法简直太配合我了好么，于是我马上接上，“来，我们再换一种方法，用这种方法数感觉像在飞！”

“10，20，30，40，50！”瞬间数完。

“那我们20个一数吧！”这次是豆豆来了劲，向我提议。虽然20个一数在我预想的引导之外，不过小朋友提议嘛，一定要支持一下。

“20，40，60……50怎么没有了？”

我和豆豆讨论了一下，觉得从1数到50的话，10个10个数速度最快。于是我问小朋友，“如果10个10个数最快，你觉得砖头在仓库里怎么摆放，下次再数的时候速度可以快一点？”

这下小朋友明白了。

我再重演了刚才的过程，先拿走9块，再运来12块。这下，因为摆放方式一目了然，不管我怎么增加或减少，小朋友都能很快报出准确数字了。

这个游戏，我觉得已经很清楚地回答了豆豆前面的问题，“为什么是满十进一，不是满八进一或者满二十进一？”因为10个10个数，计数效率最高啊！

关于“满十进一”，还可以有一些日常的活动操作。比如豆豆妈咪每天会给豆豆一些“工资”，满10个一角了，小朋友就可以来我这里换1个一元硬币。这个活动对“满十进一”的理解也很有帮助。

凑十

掌握加减法进退位，除了上面两个核心思想外，还有两项重要技能：凑十和数字拆分。

我在教豆豆数学的时候，用的是螺旋式上升的方法，所以战线拉得比较长，但好处是每次进一小步就好。凑十和数字拆分大概是大半年前玩过的，在学习进退位前，我们又复习了一下。

凑十我们用的是扑克牌钓鱼游戏复习。但规则比以前稍微升级了一下：以前我们约定的是，谁钓的鱼多谁就赢；现在鱼有差别了，黑牌2分，红牌1分，最后谁的分数高谁就赢。

游戏规则的改变显然增加了趣味性。但豆豆妈咪更重要的一个观察是，5岁多的小朋友在打牌的时候开始有策略意识了。这个游戏规则的小小改变后，我发现小朋友在想先钓哪张牌、往池塘里放哪张牌比较合算的时候，开始有逻辑了。

钓鱼游戏的规则：

先约定一个数字，比如10（看爸爸妈妈想练习哪个数字的拆分）。如果手里牌的数字，加上池塘里表示鱼的牌的数字，和是10的话，就可以钓走。游戏双方每人钓一次，一次只能钓一条鱼，结束后看谁钓到的鱼多。

具体是这样：

1. 如果约定的数字是10，那么整副扑克牌中取小于10的牌，也就是1-9。

2. 洗牌完成后，台面上（表示池塘里）放三张牌，表示三条鱼。游戏双方各发三张牌。

3. 一方先开始。如果手里的牌和池塘里的牌加起来和是10，就可以钓走，一次只能钓一条鱼。钓走的鱼和使用的牌都放到一边，游戏结束后计数。

4. 鱼钓走后，游戏者手中剩2张牌，然后从剩下的牌堆里顺序摸2张牌，根据池塘里和手里牌的情况，放1张牌到池塘里（这样游戏者手中还是3张牌，池塘里也还是有3条鱼）。如果手里没有牌可以钓鱼，就是手里牌和池塘里的牌加起来都不等于10，那么直接从剩下的牌堆里顺序摸一张，再放一张到池塘里（这样游戏者手中还是3张牌，而池塘里就有4条鱼）。

5. 游戏双方交替钓鱼，直到剩下的牌堆取完，池塘里的鱼钓完为止。游戏结束后计数，钓到鱼多的一方为胜。

数字拆分

关于数字拆分的练习有很多，豆豆妈咪就不赘述啦。

但是如果您想开开脑洞，可以围观豆豆妈咪陪豆豆玩的，用麻将和扑克牌来玩转数字拆分：让小朋友按照麻将和扑克的图案摆放棋子，一方面是在教小朋友认识数字和对应的图案，另一方面，也是豆豆妈咪真正想引导小朋友发现的，是数字的合成和分解。

数字所对应的图形

比如要做一道3+4=?的题目，脑海中浮现出3和4的图形，然后合起来，哈哈，那不是七筒的样子么？

再比如做9-5=?，脑海中浮现出9的图形，9有两种图形，但这里九筒不太好用，选择扑克牌中9的图案，然后在这个图案中分出5的图形，剩下的就是4啦！

基本上，如果小朋友掌握了上面四个方面的内容，加减法进退位就不是一件特别困难的事情啦！而且，用这样的方法学习计算，并不区分20以内、100以内或者四位数五位数加减法，因为它们的原理其实是一样的。计算数域每扩大一点，需要扩展的其实是小朋友对数位的理解和数量级的感知。

作者：豆豆妈咪

复旦大学本硕，职场妈妈。擅长数学思维启蒙、绘本阅读。家有5岁男娃一枚。

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